Introducción

En este documento se hacen ejercicios del cálculo de probabilidades con la función Poisson.Se verá cómo calcular probabilidades, probabilidades acumuladas y probabilidades inversas (cuantiles). Veamos cómo calcular probabilidades Poisson.

Ejemplo de cálculo de distribuciones de probabilidad Poisson

Suponga que se tiene un número promedio \(\mu=100\) personas por hora a un sitio web. Calcule Usted la probabilidad Poisson y Poisson acumulada (de menor a mayor) para números de personas que van de \(x\in[0,300]\). De manera complementaria, deberá presentar las gráficas de probabilidad correspondientes.

Resolución de los cálculos:

# Se generan los parámetros de entrada:
mu=100 
# Frecuencia promedio por hora de personas

xi=seq(from=0,to=300,by=1)
# Se genera eje x

# Se calculan las probabilidades de suceso simples o lo que se conoce como la distribución de probabilidad o gráfica de densidad de probabilidad Poisson:
prob.Poisson=dpois(xi,lambda=mu)

dpois(xi,mu)
##   [1] 3.720076e-44 3.720076e-42 1.860038e-40 6.200127e-39 1.550032e-37
##   [6] 3.100063e-36 5.166772e-35 7.381103e-34 9.226379e-33 1.025153e-31
##  [11] 1.025153e-30 9.319575e-30 7.766312e-29 5.974086e-28 4.267205e-27
##  [16] 2.844803e-26 1.778002e-25 1.045883e-24 5.810464e-24 3.058139e-23
##  [21] 1.529069e-22 7.281283e-22 3.309674e-21 1.438989e-20 5.995786e-20
##  [26] 2.398314e-19 9.224286e-19 3.416402e-18 1.220144e-17 4.207392e-17
##  [31] 1.402464e-16 4.524078e-16 1.413774e-15 4.284164e-15 1.260048e-14
##  [36] 3.600138e-14 1.000038e-13 2.702806e-13 7.112648e-13 1.823756e-12
##  [41] 4.559390e-12 1.112046e-11 2.647729e-11 6.157510e-11 1.399434e-10
##  [46] 3.109854e-10 6.760551e-10 1.438415e-09 2.996698e-09 6.115711e-09
##  [51] 1.223142e-08 2.398318e-08 4.612150e-08 8.702170e-08 1.611513e-07
##  [56] 2.930023e-07 5.232185e-07 9.179272e-07 1.582633e-06 2.682429e-06
##  [61] 4.470715e-06 7.329041e-06 1.182103e-05 1.876354e-05 2.931804e-05
##  [66] 4.510467e-05 6.834042e-05 1.020006e-04 1.500009e-04 2.173926e-04
##  [71] 3.105609e-04 4.374097e-04 6.075135e-04 8.322103e-04 1.124608e-03
##  [76] 1.499478e-03 1.972997e-03 2.562334e-03 3.285044e-03 4.158283e-03
##  [81] 5.197854e-03 6.417104e-03 7.825736e-03 9.428598e-03 1.122452e-02
##  [86] 1.320532e-02 1.535502e-02 1.764945e-02 2.005619e-02 2.253505e-02
##  [91] 2.503894e-02 2.751532e-02 2.990796e-02 3.215910e-02 3.421181e-02
##  [96] 3.601243e-02 3.751294e-02 3.867314e-02 3.946239e-02 3.986100e-02
## [101] 3.986100e-02 3.946633e-02 3.869248e-02 3.756552e-02 3.612069e-02
## [106] 3.440066e-02 3.245345e-02 3.033033e-02 2.808364e-02 2.576480e-02
## [111] 2.342255e-02 2.110140e-02 1.884053e-02 1.667304e-02 1.462547e-02
## [116] 1.271780e-02 1.096362e-02 9.370617e-03 7.941201e-03 6.673278e-03
## [121] 5.561065e-03 4.595921e-03 3.767149e-03 3.062723e-03 2.469938e-03
## [126] 1.975950e-03 1.568214e-03 1.234814e-03 9.646988e-04 7.478285e-04
## [131] 5.752527e-04 4.391242e-04 3.326698e-04 2.501277e-04 1.866625e-04
## [136] 1.382685e-04 1.016680e-04 7.421022e-05 5.377552e-05 3.868743e-05
## [141] 2.763388e-05 1.959849e-05 1.380176e-05 9.651578e-06 6.702485e-06
## [146] 4.622403e-06 3.166030e-06 2.153762e-06 1.455244e-06 9.766741e-07
## [151] 6.511160e-07 4.312027e-07 2.836860e-07 1.854157e-07 1.203998e-07
## [156] 7.767728e-08 4.979313e-08 3.171537e-08 2.007302e-08 1.262454e-08
## [161] 7.890337e-09 4.900831e-09 3.025204e-09 1.855953e-09 1.131679e-09
## [166] 6.858660e-10 4.131723e-10 2.474086e-10 1.472670e-10 8.714024e-11
## [171] 5.125896e-11 2.997600e-11 1.742791e-11 1.007394e-11 5.789618e-12
## [176] 3.308353e-12 1.879746e-12 1.062003e-12 5.966311e-13 3.333135e-13
## [181] 1.851742e-13 1.023062e-13 5.621218e-14 3.071704e-14 1.669404e-14
## [186] 9.023807e-15 4.851509e-15 2.594390e-15 1.379995e-15 7.301559e-16
## [191] 3.842926e-16 2.012003e-16 1.047918e-16 5.429628e-17 2.798777e-17
## [196] 1.435270e-17 7.322808e-18 3.717162e-18 1.877354e-18 9.433941e-19
## [201] 4.716971e-19 2.346752e-19 1.161758e-19 5.722947e-20 2.805366e-20
## [206] 1.368471e-20 6.643064e-21 3.209210e-21 1.542889e-21 7.382246e-22
## [211] 3.515355e-22 1.666045e-22 7.858703e-23 3.689532e-23 1.724080e-23
## [216] 8.018978e-24 3.712490e-24 1.710825e-24 7.847821e-25 3.583480e-25
## [221] 1.628854e-25 7.370382e-26 3.319992e-26 1.488786e-26 6.646364e-27
## [226] 2.953940e-27 1.307053e-27 5.757942e-28 2.525413e-28 1.102801e-28
## [231] 4.794785e-29 2.075665e-29 8.946830e-30 3.839841e-30 1.640958e-30
## [236] 6.982799e-31 2.958813e-31 1.248444e-31 5.245565e-32 2.194797e-32
## [241] 9.144987e-33 3.794601e-33 1.568017e-33 6.452744e-34 2.644567e-34
## [246] 1.079415e-34 4.387866e-35 1.776464e-35 7.163162e-36 2.876772e-36
## [251] 1.150709e-36 4.584497e-37 1.819245e-37 7.190691e-38 2.830981e-38
## [256] 1.110189e-38 4.336674e-39 1.687422e-39 6.540394e-40 2.525249e-40
## [261] 9.712495e-41 3.721263e-41 1.420329e-41 5.400491e-42 2.045641e-42
## [266] 7.719399e-43 2.902030e-43 1.086902e-43 4.055606e-44 1.507660e-44
## [271] 5.583927e-45 2.060490e-45 7.575330e-46 2.774846e-46 1.012718e-46
## [276] 3.682609e-47 1.334279e-47 4.816891e-48 1.732695e-48 6.210375e-49
## [281] 2.217991e-49 7.893206e-50 2.799009e-50 9.890492e-51 3.482568e-51
## [286] 1.221954e-51 4.272565e-52 1.488699e-52 5.169092e-53 1.788613e-53
## [291] 6.167632e-54 2.119461e-54 7.258428e-55 2.477279e-55 8.426120e-56
## [296] 2.856312e-56 9.649702e-57 3.249058e-57 1.090288e-57 3.646448e-58
## [301] 1.215483e-58
# Ahora se calcula la función Poisson acumulada de izquierda a derecha (de menor a mayor):
probAcum.Poisson1=ppois(xi,lambda=mu,lower.tail=TRUE)

probAcum.Poisson1=ppois(xi,mu,lower.tail=TRUE)

# Ahora se calcula la función Poisson acumulada de derecha a izquierda (de mayor a menor):
probAcum.Poisson2=ppois(xi,lambda=mu,lower.tail=FALSE)

Se hace la gráfica de la función de densidad:

# Se crea la gráfica con la librería ggplot:
fig1=ggplot()+
  geom_line(aes(x=xi,y=round(prob.Poisson*100,2)),colour="orange")+
  geom_point(aes(x=xi,y=round(prob.Poisson*100,2)),colour="orange")+
  xlab("Número de personas")+
  ylab("Probabilidad (%)")+
  ggtitle("Función de probabilidad Poisson")
# Con la librería plotly se genera la gráfica en formato interactivo:
ggplotly(fig1)

Ahora se graficarán las probabilidades acumuladas:

xi=seq(from=0,to=300,by=1) # Se genera eje x

# Se crea la gráfica con la librería ggplot:
fig2=ggplot()+
  geom_line(aes(x=xi,y=round(prob.Poisson*100,2)),colour="orange")+
  geom_line(aes(x=xi,y=probAcum.Poisson1*100),colour="blue")+
  geom_line(aes(x=xi,y=probAcum.Poisson2*100),colour="red")+  
  geom_vline(xintercept=120,linetype="dotted")+
  ylab("Probabilidad (%)")+
  ggtitle("Función de probabilidad Poisson")
# Con la librería plotly se genera la gráfica en formato interactivo:
ggplotly(fig2)

Ejercicios a resolver Ronda 1

Ejercicio 1

Con una frecuencia promedio de 100 personas por hora, diga Usted las siguientes probabilidades:

  1. Que entren exactamente 30 personas en la siguiente hora

mu1=100 x1=30 dpois(x1,mu1) dpois(30,100) Respuesta 1: 1.402464e-16

  1. Que entren 30 personas o menos en la siguiente hora ppois(x1,mu1) Respuesta 2: 1.99179e-16

  2. Que entren 30 personas o más en la siguiente hora x1.2=1-x1 1-ppois(30,100)

Respuesta 3: 1

Ejercicio 2

Con una frecuencia promedio de 100 personas por hora, diga Usted las siguientes probabilidades:

  1. Que entren exactamente 120 personas en la siguiente hora

mu2=100 x2=120

dpois(x2,mu2)

comprobando con datos directos dpois(120,100)

Respuesta 1: 0.005561065

  1. Que entren 120 personas o menos en la siguiente hora ppois(x2,mu2)

Respuesta 2: 0.9773307

  1. Que entren 120 personas o más en la siguiente hora 1-ppois(120,100)

Respuesta 3: 0.02266933

Ejercicio 3

Con una frecuencia promedio de 60 personas por hora, diga Usted las siguientes probabilidades:

  1. Que entren exactamente 50 personas en la siguiente hora

mu3=60 x3=50

dpois(x3,mu3) Respuesta 1: 0.0232712

  1. Que entren 50 personas o menos en la siguiente hora ppois(x3,mu3) Respuesta 2: 0.1076779

  2. Que entren 50 personas o más en la siguiente hora 1-ppois(50,60) Respuesta 3: 0.8923221

Ejercicio 4

Con una frecuencia promedio de 60 personas por hora, diga Usted las siguientes probabilidades:

  1. Que entren exactamente 70 personas en la siguiente hora

mu4=70 x4=60

dpois(x4,mu4)

Respuesta 1: 0.02427134

  1. Que entren 70 personas o menos en la siguiente hora ppois(x4,mu4)

Respuesta 2: 0.1266685

  1. Que entren 70 personas o más en la siguiente hora 1-ppois(x4,mu4)

Respuesta 3: 0.8733315

Ejercicio 5

Con una frecuencia promedio de 5 personas por hora, diga Usted las siguientes probabilidades:

  1. Que entren exactamente 7 personas en la siguiente hora

mu5=5 x5=7

dpois(x5,mu5)

Respuesta 1: 0.1044449

  1. Que entren 7 personas o menos en la siguiente hora ppois(x5,mu5)

Respuesta 2: 0.8666283

  1. Que entren 7 personas o más en la siguiente hora 1-ppois(x5,mu5)

Respuesta 3: 0.1333717

  1. Que entren entre 4 y 8 personas en la siguiente hora

Dos formas de calcular:

ppois(c(3, 8), 5) 0.9319064-0.2650259

O con otra forma:

dpois(4:8,mu5)

sum(0.17546737,0.17546737,0.14622281,0.10444486,0.06527804) Respuesta 4: 0.6668805

  1. Que entren menos de 3 o más de 8 personas en la siguiente hora

less3=ppois(2,mu5) # 0.124652 plus8=dpois(9,mu5) # 0.03626558

sum(0.124652,0.03626558) # 0.1609176 sum(less3,plus8)

Respuesta 5: 0.1609176

Ejercicio 6

Con una frecuencia promedio de 25 personas por hora, diga Usted las siguientes probabilidades:

  1. Que entren exactamente 13 personas en la siguiente hora

mu6=25 x6=13

dpois(x6,mu6)

Respuesta 1: 0.003323363

  1. Que entren 13 personas o menos en la siguiente hora ppois(x6,mu6)

Respuesta 2: 0.006467484

  1. Que entren 13 personas o más en la siguiente hora

1-ppois(x6,mu6)

Respuesta 3: 0.9935325

  1. Que entren entre 10 y 40 personas en la siguiente hora

dpois(10:40,mu6)

Suma6.4=dpois(10:40,mu6)

sum(Suma6.4)

Respuesta 4: 0.9977429

  1. Que entren menos de 20 o más de 30 personas en la siguiente hora

ppois(19,mu6) less20=ppois(19,mu6) # 0.1335748

dpois(31,mu6) plus31=dpois(31,mu6) # 0.03662321

sum(0.1335748,0.03662321) sum(less20,plus31)

Respuesta 5: 0.170198

Ejercicio 7

Con una frecuencia promedio de 40 personas por hora, diga Usted las siguientes probabilidades:

  1. Que entren exactamente 3 personas en los siguientes 15 minutos

mu7=60/15min=4

mu7=40/4=10

mu7=10 x7=3

dpois(x7,mu7)

Respuesta 1: 0.007566655

  1. Que entren 3 personas o menos en los siguientes 15 minutos ppois(x7,mu7)

Respuesta 2: 0.01033605

  1. Que entren 3 personas o más en los siguientes 15 minutos 1-ppois(x7,mu7)

Respuesta 3: 0.9896639

  1. Que entren entre 3 y 6 personas en los siguientes 15 minutos dpois(3:6,mu7)

Suma7.4=dpois(3:6,mu7)

sum(Suma7.4)

Respuesta 4: 0.127372

  1. Que entren menos de 3 o más de 6 personas en los siguientes 15 minutos

ppois(2,mu7) less3=ppois(2,mu7) # 0.002769396

dpois(7,mu7) plus6=dpois(7,mu7) # 0.09007923

sum(0.002769396,0.090079231) sum(less3,plus6)

Respuesta 5: 0.09284862

Ejercicio 8

Con una frecuencia promedio de 40 personas por hora, diga Usted las siguientes probabilidades:

  1. Que entren exactamente 3 personas en los siguientes 30 minutos
  2. Que entren 3 personas o menos en los siguientes 30 minutos
  3. Que entren 3 personas o más en los siguientes 30 minutos
  4. Que entren entre 3 y 6 personas en los siguientes 30 minutos
  5. Que entren menos de 3 o más de 6 personas en los siguientes 30 minutos

mu8=60/30min=2

mu8=40/2=20

mu8=20 x8=3

dpois(x8,mu8)

Respuesta 1: 2.748205e-06

  1. Que entren 3 personas o menos en los siguientes 30 minutos ppois(x8,mu8)

Respuesta 2: 3.20372e-06

  1. Que entren 3 personas o más en los siguientes 30 minutos 1-ppois(x8,mu8)

Respuesta 3: 0.9999968

  1. Que entren entre 3 y 6 personas en los siguientes 30 minutos dpois(3:6,mu8)

Suma8.4=dpois(3:6,mu8) [1] 2.748205e-06 1.374102e-05 5.496410e-05 1.832137e-04 sum(Suma8.4)

Respuesta 4: 0.000254667

  1. Que entren menos de 3 o más de 6 personas en los siguientes 30 minutos

ppois(2,mu8) less3=ppois(2,mu8) # 4.55515e-07

dpois(8,mu8) plus6=dpois(8,mu8) # 0.001308669

sum(4.55515e-07,0.001308669) sum(less3,plus6)

Respuesta 5: 0.001309124

Ejercicio 9

Con una frecuencia promedio de 40 personas por hora, diga Usted las siguientes probabilidades:

  1. Que entren exactamente 300 personas en 1 día

mu9=1*24=24

mu9=40*24=960

mu9=960 x9=300

dpois(x9,mu9)

Respuesta 1: 1.874408e-137

  1. Que entren 300 personas o menos en 1 día
  2. Que entren 3 personas o menos en los siguientes 30 minutos ppois(x8,mu8)

Respuesta 2: 3.20372e-06

  1. Que entren 300 personas o más en 1 día 1-ppois(x9,mu9)

Respuesta 3: 1

  1. Que entren entre 120 y 200 personas en 1 día dpois(120:200,mu9)

Suma9.4=dpois(120:200,mu9)

sum(Suma9.4)

Respuesta 4: 5.444564e-196

  1. Que entren menos de 180 o más de 420 personas en 1 día
  2. Que entren menos de 3 o más de 6 personas en los siguientes 30 minutos

ppois(179,mu9) less179=ppois(179,mu9) # 8.823529e-211

dpois(421,mu9) plus421=dpois(8,mu8) # 8.267688e-86

sum(8.823529e-211,8.267688e-86) sum(less179,plus421)

Respuesta 5: 0.001308669

Ejercicio 10

Con una frecuencia promedio de 100 personas por hora, diga Usted las siguientes probabilidades:

  1. Que entren exactamente 300 personas en 1 día

mu10=1*24=24

mu10=100*24=240

mu10=240 x10=300

dpois(x10,mu10)

Respuesta 1: 2.222766e-05

  1. Que entren 300 personas o menos en 1 día ppois(x10,mu10)

Respuesta 2: 0.9999173

  1. Que entren 300 personas o más en 1 día 1-ppois(x10,mu10)

Respuesta 3: 8.271102e-05

  1. Que entren entre 120 y 200 personas en 1 día dpois(120:200,mu10)

Suma10.4=dpois(120:200,mu10)

sum(Suma10.4)

Respuesta 4: 0.004476347

  1. Que entren menos de 180 o más de 420 personas en 1 día

ppois(179,mu10) less179_2=ppois(179,mu10) # 2.269636e-05

dpois(421,mu10) plus421_2=dpois(421,mu10) # 8.267688e-86

sum(2.269636e-05,8.267688e-86) sum(less179_2,plus421_2)

Respuesta 5: 2.269636e-05

Ejercicios a resolver ronda 2

Ejercicio 1

En las últimas 5 olimpiadas de las últimas 2 décadas México ganó, en promedio por evento, 9 medallas de oro, Estados Unidos 30 y Canadá 19. Partiendo de estas frecuencias promedio responda las siguientes preguntas:

Considerando como referencia solamente las 9 medallas obtenidas por México.

  1. Que México gane 5 medallas de oro o más en las siguientes olimpiadas

muMx=9 xMx=5 1-ppois(xMx,muMx)

Respuesta 1: 0.8843095

  1. Que México gane, a lo mucho, de 3 medallas de oro

ppois(3,9)

Respuesta 2: 0.02122649

Considerando como referencia el total de medallas (de los tres países)

  1. cuál es la probabilidad que México gane, 5 medallas de oro o más en las siguientes olimpiada.

muMxT=58 xMxT=5

1-ppois(xMxT,muMxT)

Respuesta 1: 1

  1. Que México gane, a lo mucho, de 3 medallas de oro

ppois(3,muMxT)

Respuesta 2: 2.216681e-21

Ejercicio 2

  1. Que Estados Unidos gane 10 medallas de oro o menos

Considerando el total de medallas (3 países)

muMxT=58

ppois(10,muMxT)

Respuesta 1: 9.243367e-15

Considerando solamente su propio promedio

muE=30

ppois(10,muE)

Respuesta 1: 2.234878e-05

  1. Que Canadá gane, al menos, 13 medallas de oro

Considerando el total de medallas (3 países)

ppois(13,muMxT)

Respuesta 1: 1.118884e-12

Considerando solamente su propio promedio

muC=19 ppois(13,muC)

Respuesta 1: 0.09839878

Ejercicio 3

  1. Que el bloque de Norte América gane entre 30 y 60 medallas de oro

muNA=58

ppois(30:60,muNA) PromNA=ppois(30:60,muNA)

sum(PromNA)

Respuesta 1: 4.790943

  1. Que el bloque de Norte América gane ya sea menos de 20 medallas de oro o más de 40

muNA=58 ppois(19,muNA) less20NA=ppois(19,muNA) # 2.502017e-09

dpois(41,muNA) plus40NA=dpois(40,muNA) # 0.003864016

sum(2.502017e-09,0.003864016) sum(less20NA,plus40NA)

Respuesta 5: 0.002731462

Ejercicios a resolver ronda 3

Una aseguradora debe indemnizar autos color rojo que sufren pérdida total en un accidente. Esto si la propietaria o propietario tiene una póliza con dicha compañía. En el transcurso del año pasado, los coches rojos fueron los más siniestrados (como sucede en la mayoría de las aseguradoras) y el número de unidades promedio mensual que se indemnizó fue de 500 coches. Esto con un valor promedio de $200,000.00 por siniestro.

La aseguradora debe tener reservas suficientes para hacer frente a estos pagos potenciales. Por favor, responda las siguientes preguntas:

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que, en 6 meses, la aseguradora pague menos de 1,500 siniestros?

mu6mes=(500*6)

ppois(1499,mu6mes)

Respuesta 1: 1.304768e-202

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que, en 3 meses, la aseguradora pague, al menos 1,500 siniestros?

mu3mes=(500*3) 1-ppois(1500,mu3mes)

Respuesta 2: 0.4931335

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que, en 1 año, deba pagar $1’200,000.00 en indemnizaciones?

Identificamos cuántos siniestros representa el monto: 1’200,000/200,000=6 siniestros

1200000/200000

Identificamos cuál sería el promedio anual=500 siniestros mensuales por 12 meses = 6,000

500*12

dpois(6,6000)

Respuesta 3: 0

  1. (Razonamiento, acuda a las notas o a su investigación en Internet para responder) ¿Diga cuántos accidentes podría llegar a pagar en un mes con un 95% de probabilidad de suceso?

Identificamos cuál es el número de siniestros que representan el 95% de suceso.

Pi=0.95 mu=500 qpois(0.95,500)

Respuesta 4: 537

  1. (Razonamiento, acuda a las notas o a su investigación en Internet para responder)) ¿Diga cuántos siniestros podría llegar a pagar en 2 meses con un 98% de probabilidad de suceso?

Identificamos cuál es el número de siniestros que representan el 98% de probabilidad de suceso, en 2 meses.

Pi2=0.98 mu2=1000 qpois(0.98,1000)

Respuesta 5: 1,065

  1. Con un 98% de probabilidad de suceso ¿Cuánto monto en siniestros llegaría a pagar en 1 mes?

Pi=0.98 mu=500 qpois(0.98,500)

Respuesta 6: 546200000 = 109200000 546200000